Algèbre linéaire Exemples

$(5 i) (2 + 6 i)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

$5 i \cdot 2 + 5 i (6 i)$

Étape 2

Multipliez

$2$ par

$5$ .

$10 i + 5 i (6 i)$

Étape 3

Multipliez

$5 i (6 i)$ .

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Étape 3.1

Multipliez

$6$ par

$5$ .

$10 i + 30 i i$

Étape 3.2

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i)$

Étape 3.3

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$10 i + 30 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 i + 30 i^{1 + 1}$

Étape 3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$10 i + 30 i^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez

$i^{2}$ comme

$- 1$ .

$10 i + 30 \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez

$30$ par

$- 1$ .

$10 i - 30$

Étape 5

Remettez dans l’ordre

$10 i$ et

$- 30$ .

$- 30 + 10 i$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

$| z |$ est le module et

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

$z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de

$a = - 30$ et

$b = 10$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} + {(- 30)}^{2}}$

Étape 9

Déterminez

$| z |$ .

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Étape 9.1

Élevez

$10$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{100 + {(- 30)}^{2}}$

Étape 9.2

Élevez

$- 30$ à la puissance

$2$ .

$| z | = \sqrt{100 + 900}$

Étape 9.3

Additionnez

$100$ et

$900$ .

$| z | = \sqrt{1000}$

Étape 9.4

Réécrivez

$1000$ comme

$10^{2} \cdot 10$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez

$100$ à partir de

$1000$ .

$| z | = \sqrt{100 (10)}$

Étape 9.4.2

Réécrivez

$100$ comme

$10^{2}$ .

$| z | = \sqrt{10^{2} \cdot 10}$

Étape 9.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 10 \sqrt{10}$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{10}{- 30})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de

$\frac{10}{- 30}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est

$2.81984209$ .

$θ = 2.81984209$

Étape 12

Remplacez les valeurs de

$θ = 2.81984209$ et

$| z | = 10 \sqrt{10}$ .

$10 \sqrt{10} (\cos (2.81984209) + i \sin (2.81984209))$